Версия 1

Прозвище Гой, вероятно, происходит от древнерусского слова «гой», имеющего значения, связанные с жизнью и живительной силой.

Слово «гой» происходит от праиндоевропейского корня gi — «жить» или goio - «жизнь». Слово «гоить» в старину означало «говеть, жить, здравствовать» (словарь Даля; такое же толкование в «Материалах для словаря древнерусского языка» И. И. Срезневского).

Само же слово «гой» засвидетельствовано прежде всего в тексте былин, в формуле «Ой, ты гой еси, добрый молодец!» (позднее также искажённое «гоясы»). В современном языке слово «гой» в составе данной формулы воспринимается как междометие, становится «вызывательным восклицанием, ободрительным вызовом» (по словарю Даля).

Кроме того, слово «гой» в древнерусском языке трактуется как «мир, спокойствие».

Исходя из этого, можно предположить, что прозвище Гой получил очень живой, подвижный или, напротив, спокойный человек. Гой, со временем получил фамилию Гоев.