Версия 1

Основой фамилии Гаевой послужило мирское имя Гай. Фамилия Гаевой восходит к мирскому имени Гай, которое образовалось из нарицательного «гай», т.е. «шум, крик». Скорее всего, такое имя мог получить беспокойный, крикливый ребенок. В этом случае фамилия Гаевой представляет собой отчество второго порядка: Гаевой – сын Гаева, внук Гая.

Также не следует исключать возможность образования фамилии Гаевой от украинского слова «гай». По-украински гаем называют небольшой лиственный лес. Таким образом, возможно, что человек, живший в лесистой местности, получил прозвище Гаев, а за его сыном закрепилось отчество Гаевой.

Также не исключено, что имя Гай является просторечной формой канонического мужского имени Гаий, которое в переводе с греческого означает «земной».