Версия 1

Фамилия Багатырь образована от аналогичного прозвища, которое восходит к нарицательному «богатырь». Богатырями на Руси называли людей рослых, дюжих, сильных.

Не случайно, богатырями прозвали и героев русских былин, защитников русской земли, совершавших воинские подвиги, отличавшихся особой силой, удальством, умом, самообладанием. Данное слово встречается в русских летописях с 13 века, в древнерусском языке ему соответствовали наименования «храбр», «храбор», «удалец».

Вероятно, прозвищем Багатырь нарекли смелого, отважного, мужественного, удалого, физически крепкого человека.

Чередование гласных о/а объясняется историческими процессами, происходившими в ходе развития языка.