Версия 1

Фамилия Азьмука ведет свое начало от прозвища Азьмукаа. Фамилия Азьмука образована от аналогичного прозвища, которое ведет свое начало от нарицательного «азям» со значением «верхняя одежда крестьян как мужчин, так и женщин».

Наиболее распространенными были халатообразные однобортные азямы. Они шились обычно длинными, до щиколоток, с прямым широким рукавом и большим отложным воротником. При этом спина и полы могли быть расширяющимися книзу или прямыми с продольными клиньями, вставленными между спинкой и полами. Эти азямы надевались нараспашку или запахивались справа налево. При запахе азямы подпоясывались кушаком, завязывавшимся спереди. Концы кушака затыкались за него справа и слева от узла. Воротник часто поднимался вверх, закрывая почти полностью голову, и подвязывался вокруг шеи шарфом, тесемкой, верёвкой. Такие азямы надевались обычно на другую верхнюю одежду при поездке в дальнюю дорогу, в плохую погоду.

Вероятно, прозвище Азьмука либо содержало указание на деятельность основателя фамилии (он мог быть портным или торговцем), либо на социальное положение предка (бедный крестьянин).