Версия 1

Фамилия Досугов образована от прозвища Досуг, которое ведет свое начало от аналогичного нарицательного. Согласно «Словарю живого великорусского языка» В. И. Даля, досуг — это «свободное, незанятое время, гулянки, гулячая пора, простор от дела». Вероятно, Досугом прозвали человека, любившего отдохнуть и повеселиться.

Слово «досуг» вошло во многие пословицы и поговорки, например: «Был бы друг, будет и досуг»; «Работе время, а досугу час»; «А когда досуг то будет? А когда нас не будет».

По другой версии, в основу прозвища Досуг легло прилагательное «досужий», то есть «умеющий, способный к делу, ловкий, искусный, хороший мастер своего дела или мастер на все руки». В этом случае прозвище Досуг могли дать умелому человеку. Досуг, со временем получил фамилию Досугов.